Авторские математические наблюдения

Главная > Естественные науки > Математика > Математические наблюдения

Технологические разработки автора (см. CV): Репликация распределённой БД Oracle | Рубрикация сетевой информации | Веб-мониторинг трубопровода по SCADA

Алфавитный перечень страниц (Alt-Shift-): А | Б | В | Г | Д | Е (Ё) | Ж | З | И | Й | К | Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф | Х | Ц | Ч | Ш | Щ | Э | Ю | Я | 0-9 | A-Z | Акр

Три теоремы софиста Горгия:

Ничто в мире не существует.
А если что и существует, то непознаваемо.
А если что и познаваемо, то непередаваемо.

Разделы страницы об интересном в числах и полезном в их обработке о числовых закономерностях и парадоксах, которые может обнаружить пытливый математик-любитель, коим отчасти являтся автор сего сайта:

Теория чисел
Математическая обработка

Теория чисел

Философ Древней Греции и первый из известных нумерологов тиррен "Пифагор поставил проблему исследования мира чисел и его связи с миром вещей". [Урманцев 2013, С. 17.].

Свойства простых чисел

Степенное определение простых чисел

Риман, как я понял, считал, что у простых чисел [ПЧ] есть свои закономерности.

выражение ( 2 ⁿ + 3 ) дает простое число, кроме тех результатов, которые (за исключением 5) целочисленно делятся на 5 - т.е., если ( n - 1 ) / 4 дает натуральное число (т.е. целое, кроме 0 - при n = 1);
результат выражения ( 2 ⁿ - 3 ) при n > 1 также принадлежит множеству простых чисел, кроме делимых на 5 - т.е., если ( n + 1 ) делится на 4 без остатка, кроме n = 3 (при этом результат равен простому числу 5) и, естесственно, кроме n = 1, когда результат будет отрицательный.

Эту гипотезу (которую еще предстоит доказать и представить статистическую сводку полноты охвата ПЧ) можно сформулировать следующим образом:

( 2 ⁿ ± 3 ) ∈ M_SN, при ( n ± 1 ) mod 4 = 0
(кроме 3 случаев, когда результат равен простому числу 5 или отрицателен),

где:

n - натуральное число;
∈ - отношение принадлежности;
M - символ множества;
SN - идентификатор простых чисел (simple numeric).

Сори, мне уже показали, что данные формулы не верны уже при n=8 [зато до этого верно!]:

2⁸ + 3 = 259 = 7 × 37;
2⁸ - 3 = 253 = 11 × 23.

Свойства "сдвигов" простых чисел (делимость их производных)

А, просматривая свои школьно-студенческие тетради, я был немало удивлён, что еще тогда обнаружил прелюбопытную закономерность в распределении простых чисел:

Квадрат любого простого (больше 3) минус 1 - делимо на 6. [Можно ли утверждать обратное: любое произведение на 6 плюс 1 - простое число?] ("гексадайническое" свойство);
Мне также подсказали, что утверждение выше можно усилить: "квадрат любого простого (больше 3) минус 1 - делимо на 12" ("додекадайническое" свойство).

Посмотрим это для простых чисел первой сотни натуральных:

5: 5*5-1=24: 24/6=4; 24/12=2.
7: 7*7-1=48: 48/6=8; 48/12=4: 4=2*2.
11: 11*11-1=120: 120/6=20; 120/12=10: 10=2*5.
13: 13*13-1=168: 168/6=28; 168/12=14: 14=2*7.
17: 17*17-1=288: 288/6=48; 288/12=24: 24=8*3=2*3*4.
19: 19*19-1=360: 360/6=60; 360/12=30: 30=2*3*5.
23: 23*23-1=528: 528/6=88; 528/12=44: 44=4*11 (#3).
29: 29*29-1=840: 840/6=140; 840/12=70: 70=2*5*7.
31: 31*31-1=960: 960/6=160; 960/12=80: 80=16*5=2*5*8.
37: 37*37-1=1368: 1368/6=228; 1368/12=114: 114=2*3*19 [первая тройка] (#6).
41: 41*41-1=1680: 1680/6=280; 1680/12=140: 140=4*5*7=(2*7)(2*5).
43: 43*43-1=1848: 1848/6=308; 1848/12=154: 154=2*7*11.
47: 47*47-1=2208: 2208/6=368; 2208/12=184: 184=8*23 (#7).
53: 53*53-1=2808: 2808/6=468; 2808/12=234: 234=2*9*13.
59: 59*59-1=3480: 3480/6=580; 3480/12=290: 290=2*5*29 (#8).
61: 61*61-1=3720: 3720/6=620; 3720/12=310: 310=2*5*31 (#9).
67: 67*67-1=4488: 4488/6=748; 4488/12=374: 374=2*187 [?!].
71: 71*71-1=5040: 5040/6=840; 5040/12=420: 420=4*3*5*7.
73: 73*73-1=5328: 5328/6=888; 5328/12=444: 444=4*3*37 (#10).
79: 79*79-1=6240: 6240/6=1040; 6240/12=520: 520=8*5*13.
83: 83*83-1=6888: 6888/6=1148; 6888/12=574: 574=2*287 [?!].
89: 89*89-1=7920: 7920/6=1320; 7920/12=660: 660=4*3*5*11=(2*3*5)(2*11) [первая четверка].
91: 91*91-1=8280: 8280/6=1380; 8280/12=690: 690=2*3*5*23.
97: 97*97-1=9408: 9408/6=1568; 9408/12=784: 784=16*49=(4*7)².
101: 101*101-1=10200: 10200/6=1700; 10200/12=850: 850=2*25*17.

[получается, что из обратного утверждения можно подготовить правило наличия простых чисел: 1) надо взять число, делимое на 6; 2) прибавить 1; 3) взять корень; 4) если оно целое - то оно простое.]

Тоже проверим это на первой полсотне натуральных:

6: 6+1=7 - целого корня нет, но само 7 - простое. [Обратная проверка по нему: 7²-1=48 - никак не простое (2³·3)]
12: 12+1=13 - целого корня нет, но само 13 - простое. [Обратная проверка по нему: 13²-1=168 - не простое (как минимум, делится на 2 и 3)]
18: 18+1=19 - целого корня нет, но само 19 - простое. [Обратная проверка по нему: 19²-1=360 - совсем не простое (на 2, на 3 и др.)]
24: 24+1=25; √25=5 - оно целое и простое (24=12·2!).
30: 30+1=31 - целого корня нет, но само 31 - простое. [Обратная проверка: 30²-1=899 - простое ли?]
36: 36+1=37 - целого корня нет, но само 37 - простое. [Обратная проверка по нему: 37²-1=1368 - делится на 2 и 3...]
42: 42+1=43 - целого корня нет, но само 43 - простое. [Обратная проверка по нему: 43²-1=1848 - делится на 2 и 3...]
48: 48+1=49; √49=7 - оно целое и простое (24=12·3!).

Видим, что делимость на 6 - не достаточная, а на 24 - самое то, именно это нужно проверить!

Закономерности в диапазонах между простыми числами

(C) 18.07.2021. Случайно я также нащупал следующую зависимость: если между 2-мя простыми числами (начиная с 5) находится только одно натуральное, то оно не только делится на 2 (что естественно), но и на 3 (что означает, что всегда делится на 6):

между 5 и 7: 6 = 2·3 = 2·3·1;
между 11 и 13: 12 = 6·2 = 2²·3 = 2·3·2;
между 17 и 19: 18 = 6·3 = 2·3² = 2·3·3;
между 29 и 31: 30 = 6·5 = 2·3·5;
между 41 и 43: 42 = 6·7 = 2·3·7;
между 59 и 61: 60 = 6·10 = 4·15 = 2²·3·5;
между 71 и 73: 72 = 6·12 = 8·9 = 2³·3²;
между 89 и 91: 90 = 30·2 = 6·15 = 2·3²·5;
между 101 и 103: 102 = 6·17 = 2·3·17;
между 107 и 109: 108 = 6·18 = 3·6² = 2²·3³;

Отсюда можно сделать дополнительные выводы и гипотезы:

правило: такое "межпростое" число можно представить или произведением 2 и 3 в различных степенях или подобным произведением, умноженным еще на какое-либо простое число [желательно доказать] (его номер возрастает при увеличении окружающих простых).
гипотеза: в таких произведениях может быть не более 3-х множителей [надо проверить и доказать];
наблюдение: в первых 5 рядах находится произведение из 3 множителей: 2 (включая квадрат), 3 (включая квадрат) и последовательное простое число: 1 (если допустить, что 1 - тоже простое), 2, 3, 5, 7.

Близкие частные между простыми числами

(C) 22.10.2021. Интересные соотношения, когда я режу рисунки для сайта - нужно так их обрезать, чтобы удобно было масштабировать:

750x419 можно обрезать так: 750x400 или 720x400: 15:8 ~ 9:5 (1,875 ~ 1,8) (а можно и как 700x420 = 10x6 = 5x3)

Свойства обычных натуральных чисел

"Сумма-факториальные" зависимости натуральных чисел

Также еще в школьные и студенческие годы, увлекаясь особенностями чисел Фибоначчи, я нашел следующую закономерность:

X^~ + (X-N)^~ = X² - (N-1)*X + (N-1)^~, где ^~ - "сумма-факториал" (например, 5^~ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5).
[Привожу еще одну зависимость, предоставленную другим автором: X^~ * (X^~ - X) / N^~ * (N^~ - N) = X² * (X² - 1) / N² * (N² -1) ]

Закономерности в разложении целых чисел на сумму других

(C) 27.03.2009. :) Пытаясь расмотреть теорему Ферма с помощью "штанов Пифагора", я написал список квадратов первых 10 натуральных чисел, и с удивлением обнаружил закономерность, которую аналогично продолжил в большую и меньшую стороны:

-1² = 1 = 121 - 120 = 11² - 6×20
0² = 0 = 100 - 100 = 10² - 5×20
1² = 1 = 81 - 80 = 9² - 4×20
2² = 4 = 64 - 60 = 8² - 3×20
3² = 9 = 49 - 40 = 7² - 2×20
4² = 16 = 36 - 20 = 6² - 1×20
5² = 25 = 25 + 0 = 5² + 0×20
6² = 36 = 16 + 20 = 4² + 1×20
7² = 49 = 9 + 40 = 3² + 2×20
8² = 64 = 4 + 60 = 2² + 3×20
9² = 81 = 1 + 80 = 1² + 4×20
10² = 100 = 0 + 100 = 0² + 5×20
11² = 121 = 1 + 120 = -1² + 6×20

Из этого вытекает формула: N² = 20×(N-5) + M², где M - другое натуральное число, причём, оно тоже закономерно. Значит, любой квадрат целого числа можно разложить на сумму из квадрата другого целого числа и произведения 20 на третье целое число. Найдём и M: M = -1×(N-10).

Т.о., получаем следующую итоговую формулу: N² = (N-10)² + 20×(N-5) !

Далее, N² = (N-5-5)² + 20×(N-5), откуда, обозначив N-5 как L: (L + 5)² = L² - 10L + 25 + 20L = L² + 10L + 25, что является классической формулой квадрата суммы.

Кстати, на основе квадрата суммы, действительно, можно попытаться доказать Великую теорему Ферма: если (a+b)² = a² + 2ab + b² ∴ a² + b² = (a+b)² - 2ab, значит, чтобы доказать невозможность существования квадрата целого числа большего 5, равного сумме квадратов других целых чисел, нужно доказать, что (a+b)² - 2ab никогда не будет равно такому квадрату. Либо можно попытаться доказать это геометрически через Пифагоровы штаны или Золотое сечение.

Закономерности в разложении целых чисел на сумму степеней других

Есть труд (легко найдёте в Ютюбе), где доказывается, что ЛЮБОЕ целое число можно представить суммой трёх палиндромов (чисел, которые с обоих концов пишутся одинаково). Для такого представления имеется набор алгоритмов. И в самом деле, вот как мне удалось представить несколько целых чисел первой полсотни:

010 + 010 + 010 = 30 [а с начальным 0 правомерно палиндром представлять?]
010 + 010 + 11 = 31
11 + 11 + 11 = 33
010 + 020 + 020 = 60
22 + 22 + 22 = 66

Интересно, выполняется ли этот закон для палиндромов в любой системе счисления?

Закономерности в разложении целых чисел на сумму степеней других

108 = 9×12 = 27×4 = 2²×3³
108 = 16×5+28 = 16×6+12 = 6×18 = 3×36
108 = 25×4 + 8 = 2³ + 2²×5² = 2²×(2 + 5²)
108 = 49×2 + 10 = 2×(5 + 7²)
108 = 64 + 44 = 8² + 4×11 = 4³ + 4×11 = 4×(4² + 11) = 3³×4 = 2²×3³
108 = 81 + 27 = 9² + 3³ = 3⁴ + 3³ = 3³×(3 + 1)
108 = 100 + 8 = 10² + 2³
108 = 60 + 48 = 3×4×4 + 3×4×5 = 3×4×9 = 36×3 = 3×6²

Отсюда: 2²×3³ = 10² + 2³. Причём, по-видимому, 108-1 и 108+1 - простые числа.

Закономерности в разложении целых чисел на произведение степеней других

108 = 2² × 3³

Закономерности в числах и числовых операциях

[готовится]

Библиография о свойствах чисел

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. Философские и естественно-научные аспекты. Изд. 4-е. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2013. - 232 с.

Математическая обработка

Корреляционная обработка групп характеристик

Корреляционно-атрибутивный (или факторно-ассоциативный) анализ [пока идея].

Задачи и цели корреляционного (факторного) анализа.
Визуальное сравнение систем письменных знаков.
Корреляционное сравнение языков и построение генетического дерева.
Сравнение археологических культур и определение их наследственности.
Корреляционный анализ характеристик планет и выявление орбитальных закономерностей.
Оценка научности гороскопов.

Главная

На правах рекламы (см. условия):

Ключевые слова для поиска сведений об авторских статьях по математике: На русском языке: математические наблюдения, авторские работы по математике, заметки математика; На английском языке: mathematics.

Страница обновлена 15.09.2022