Арифметика и теория чисел

Главная > Естественные науки > Математика > Арифметика
Иерархия и типы чисел

Хорошая теория – самая практичная вещь на свете.

Начало арифметики относится к незапамятной древности. Изобретение десятичной системы и цифр приписывается индусам, халдейцам, финикянам, египтянаммайя]. Первыми учеными, писавшими об арифметике, были греки Евклид, Диофант, Эратосфен и др. Арабы, усвоившие труды греческих математиков, развили далее науку арифметики и познакомили с ней европейцев в IX в. Арабские (собственно индийские) цифры стали известны в Европе в 13-м веке (дотого в употреблении были лишь римские). Региомонтанус (XV в.) ввел десятичные дроби [они использовались уже египтянами]. Развитию арифметики способствовали в Европе: Пейрбах, Региомонтанус, Пачиоли, Стифель, Хр. Вольф, Эйлер, Лейбниц, Паскаль, Фермат. (Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона)

Арифметика (греч.) - часть математики, которая занимается изучением некоторых свойств чисел, выраженных цифрами, и действиями над ними. В более широком смысле арифметика определяется как наука о свойствах чисел вообще, причем различают низшую и высшую арифметику, простую и общую арифметику.

В  низшую арифметику входят:

К  высшей арифметике относится исследование общих свойств чисел, учение о рядах и др.

Простая арифметика занимается определенными числами, то есть выраженными цифрами.

В  общей арифметике, иначе алгебре, вместо цифр употребляются буквенные знаки [переменные]; алгебра есть обобщенная арифметика.

Для удобства в педагогическом отношении более сложные части арифметики: возвышение в степень, извлечение корня, решение задач с уравнениями переносятся в курс алгебры.

Выделяют также прикладную (коммерческую) арифметику, занимающуюся вычислением рентных, лотерейных, страховых, эмеритальных, пенсионных, арбитражных и других таблиц.

Разделы страницы о числах, арифметических операциях с ними и их интересных свойствах:

Если вы любите увлекательнейшую теорию чисел - читайте также об истории решения Великой теоремы Ферма.


Обозначения чисел

Современные цифры называются "арабскими", хотя являются по происхождению индийскими, причём, и в Индии, и в арабских странах они имеют несколько другую форму.

Римские цифры в Юникоде: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (5), (100), (500?), (1000).

Школьная арифметика

Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys - число) ["числительница" - у М.Ломоносова], - наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практической и культурной деятельности человека. Поэтому арифметика является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы. С помощью натуральных чисел конструируются многие математические понятия (например, основное понятие математического анализа - действительное число). В связи с этим арифметика является одной из основных математических наук.

Когда делается упор на логический анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика.

Арифметика тесно связана с алгеброй, в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет теории чисел.

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл "Псаммит" Архимеда (3 в. до н. э.), в котором доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например: Число ПИ по Архимеду [также хорошее приближение: 22/7] ...

Впервые (в 1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина в 1585 г. и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму...
(Большая советская энциклопедия)

Высшая арифметика

Разложение на множители и простые числа

Сравнения

Квадратичные вычеты

Непрерывные дроби

Дроби в Юникоде: ⅟ ¹ ² ³ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅕ ⅖ ⅗ ⅘ ⅙ ⅚ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ .

Суммы квадратов

Квадратичные формы

Теория чисел

Теорию чисел иногда включают в высшую алгебру.

Труды по теории чисел

Порталы и статьи о свойствах чисел

Диофантовы уравнения и их решение

Текст Диофанта в его математической символике

Диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского («отец алгебры», живший предположительно в III веке н. э. [в конце эпохи Древнего мира]), который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика». Диофант первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

Диофант пытался ответить на следующий вопрос: Дано уравнение с целыми коффициентами. Имеет ли оно целые решения? Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с 3-мя неизвестными [у самого Диофанта были и с 3-мя неизвестными] в наши дни называется обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия такой анализ допускал использование в качестве переменных и рациональные дроби, однако сейчас он ограничивается только целыми числами. Другое, более точное определение: диофантовы уранения - алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные [простые дроби] решения.

Примеры диофантовых уранений: ax + by = c, x2 + y2 = d2, x3·8 - x2·16 = x3·1 (как на приведённой иллюстрации).

После Диофанта схожим изучение неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века [через 200 лет]. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.) [почти через тысячелете после Диофанта], Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.) [оба - через 400 лет после Фибоначчи].

Проблема решения диофантовых уравнений в целых числах является решённой до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Свойства и закономерности простых и натуральных чисел

Арифметика - наука о числах

Также смотрите страницу Великие проблемы математики, раздел по теории чисел и гипотезе Римана - возможной закономерности распределения простых чисел в бесконечном ряду натуральных чисел.

Проблема Гольдбаха

Любое четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел (1742 г.), например: 10 = 7 + 3 = 5 + 5 [и количество таких комбинаций можно назвать валентностью этого четного числа].

Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9 [= 1+3+5 = 3+3+3], можно представить в виде суммы трех простых чисел, например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3 [да - это прямое следствие первой гипотезы].

Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать - и изумительные гипотезы Гольдбаха до сих пор не доказаны. [может быть, мезоны, состоящие из 2 кварков (1/3+2/3) - чётные числа, а барионы, состоящие из 3 (1/3 + 1/3 + 1/3) - нечетные? :) ]

Источники:

Неожиданное в свойствах простых чисел

Список интересных фактов в операциях над простыми числами:

Статьи энтузиастов по решению проблем простых чисел

Статьи Белотелова В.А. (г. Заволжье):

Статьи по манипуляциям с натуральными числами

Интересные сетевые статьи и ресурсы о свойствах натуральных чисел и их рядов:

Свойства особых иррациональных и трансцендентных чисел (пи, e, фи)

Как известно из геометрии, общею мерою двух отрезков прямой (или двух углов, двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и той же величины), называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. Тем не менее, в геометрии утверждается, что могут быть такие 2 отрезка, которые не имеют общей меры, например, сторона квадрата и его диагональ. Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами.

Трансцендентные числа - это числа (вещественные или комплексные), которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например,такие важнейшие константы анализа, как π и e, являются трансцендентными, а √2 не является, поскольку это корень многочлена x²−2.

Главные [а есть другие?] математические константы:

Константы (постоянные числа) имеются или могут иметься во всех науках - как естественных, так и гуманитарных - психологии, лингвистике, истории. Познакомьтесь, например, с физическими константами. Даже, возможно, в философии когда-нибудь откроют великие философские постоянные. Впрочем, не исключено, что ими окажутся как раз наши матконстанты, получив, таким образом, одухотворённость.

Взаимосвязь между базовыми математическими постоянными

Путём хитрых преобразований и операций получены следующие любопытные результаты (источник - статья "Постоянная Гельфонда" в Википедии):

Иррациональное число Фидия (Φ) от чисел Фибоначчи - основа "золотого сечения"

Знаменитое "Золотое сечение" или Число Фидия φ = (1 + √5) / 2 = 1,61803398874989… является числом, к которому стремится частное от разности соседних чисел Фибоначчи в ряду 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … , где каждое следующее число есть сумма предыдущих двух чисел, начиная от 0 и 1.

Обратное число, обозначаемое строчной буквой φ = 1 / Φ ≈ 0,61803, откуда следует, что φ = 1 - Φ.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. [Интересно. Это поэтому в корне пятёрка?]

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, произведение 1,6180339… × 1,6180339... = 2,6180339…) но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства. А вот не менее невероятные, но реальные удивительные свойства числа Фидия:

Ссылки на обзоры и статьи по золотому сечению, числу Фидия и ряду Фибоначчи:

Трансцендентное число π - основа квадратуры круга

Разложение числа ПИ в ряд

Пи = 3,141 592 654 ...

Трансцендентное число e - основа логарифмов

Сетевые ресурсы об иррациональных и трансцендентных числах

Обзоры и сборники статей о свойствах нерациональных и операций с ними чисел:

Прикладная арифметика

Коммерческие приложения арифметики.


Главная
Математика: Арифметика и ТЧ | Геометрия | Алгебра | Матанализ | Дискретная математика | Прикладная математика | Проблемы математики
Близкие по теме страницы: Гранты | Эвристика и авторство | Информатика
На правах рекламы (см. условия):    


© «Сайт Игоря Гаршина», 2002, 2005. Автор и владелец - Игорь Константинович Гаршин. Пишите письма (Письмо И.Гаршину).
Страница обновлена 18.09.2020
Яндекс.Метрика