Главная Пишите

Арифметика и теория чисел

Хорошая теория – самая практичная вещь на свете.

Арифметика (греч.) - часть математики, которая занимается изучением некоторых свойств чисел, выраженных цифрами, и действиями над ними. В более широком смысле арифметика определяется как наука о свойствах чисел вообще, причем различают низшую и высшую арифметику, простую и общую арифметику.

В  низшую арифметику входят:

• четыре основных действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами целыми и дробными, отвлеченными [?] и именованными [?];
• признаки делимости на некоторые простые числа;
• учение о пропорциях и о его практическом применении в некоторых задачах (правила: тройное, процентов, учета векселей, товарищества и др.);
• возвышение в степень и извлечение квадратных и кубичных корней.

К  высшей арифметике относится исследование общих свойств чисел, учение о рядах и др.

Простая арифметика занимается определенными числами, то есть выраженными цифрами.

В  общей арифметике, иначе алгебре, вместо цифр употребляются буквенные знаки [переменные]; алгебра есть обобщенная арифметика.

Для удобства в педагогическом отношении более сложные части арифметики: возвышение в степень, извлечение корня, решение задач с уравнениями переносятся в курс алгебры.

Выделяют также прикладную (коммерческую) арифметику, занимающуюся вычислением рентных, лотерейных, страховых, эмеритальных, пенсионных, арбитражных и других таблиц.

Начало арифметики относится к незапамятной древности. Изобретение десятичной системы и цифр приписывается индусам, халдейцам, финикянам, египтянам [и майя]. Первыми учеными, писавшими об арифметике, были греки Евклид, Диофант, Эратосфен и др. Арабы, усвоившие труды греческих математиков, развили далее науку арифметики и познакомили с ней европейцев в IX в. Арабские (собственно индийские) цифры стали известны в Европе в 13-м веке (дотого в употреблении были лишь римские). Региомонтанус (XV в.) ввел десятичные дроби [они использовались уже египтянами]. Развитию арифметики способствовали в Европе: Пейрбах, Региомонтанус, Пачиоли, Стифель, Хр. Вольф, Эйлер, Лейбниц, Паскаль, Фермат.
(Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона)

Разделы страницы:

• Школьная арифметика
• Теория чисел (высшая арифметика)
• Прикладная (коммерческая) арифметика

Школьная арифметика

Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys - число) ["числительница" - у М.Ломоносова], - наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практической и культурной деятельности человека. Поэтому арифметика является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы. С помощью натуральных чисел конструируются многие математические понятия (например, основное понятие математического анализа - действительное число). В связи с этим арифметика является одной из основных математических наук.

Когда делается упор на логический анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика.

Арифметика тесно связана с алгеброй, в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет теории чисел.

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл "Псаммит" Архимеда (3 в. до н. э.), в котором доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например: [также хорошее приближение: 22/7] ...

Впервые (в 1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина в 1585 г. и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму...
(Большая советская энциклопедия)

• .

Теория чисел (высшая арифметика)

Теорию чисел иногда включают в высшую алгебру.

Труды по теории чисел

• Геометрия чисел. Диофантовы приближения. Г.Минковский.
• Труды по теории чисел. К.Ф.Гаусс.
• Работы по теории чисел. Светлана и Александр Саверские
• Лекции по теории чисел.
• Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. Г. Дэвенпорт.

Разделы высшей арифметики

Разложение на множители и простые числа

• .

Сравнения

• .

Квадратичные вычеты

• .

Непрерывные дроби

• .

Суммы квадратов

• .

Квадратичные формы

• .

Диофантовы уравнения и их решение

• Алгоритмы решения Диофантовых уравнений. Белотелов В. А. Работа защищена на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Санкт - Петербурге, 19 мая 2009 г. В ней рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:
  - великая теорема Ферма;
  - уравнение Пелля;
  - уравнения эллиптических кривых У²=X³+K, (У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В);
  - иррациональные корни уравнения Х2-У2=1;
  - поиск Пифагоровых троек;
  - уравнение Каталана;
  - уравнение гипотезы Билля.
• Признак сходимости Диофантовых уравнений. Еще одна работа В.А.Белотелова

Свойства чисел

Если 111.111.111 умножить на 111.111.111, то получится 12345678987654321.

Свойства особых трансцендентных чисел (пи, e, фи)

Пи = 3,141 592 653 ...

• Зона ПИ. (На "Арбузе").
• Числа Фибоначчи. (Элементы. "Природа науки"). Последовательность чисел, каждый член которой равен сумме двух предыдущих, имеет множество любопытных свойств.
• Японец озвучил число Пи до стотысячного знака.

Свойства и закономерности простых чисел

Также смотрите страницу Великие проблемы математики, раздел по теории чисел и гипотезе Римана.

• Проблема Гольдбаха (Элементы. "Природа науки"). Любое четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел (1742 г.), например: 10 = 7 + 3 = 5 + 5 [и количество таких комбинаций можно назвать валентностью этого четного числа]. Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9, можно представить в виде суммы трех простых чисел, например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3 [да - это прямое следствие первой гипотезы]. Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать - и изумительные гипотезы Гольдбаха до сих пор не доказаны. [может быть, мезоны, состоящие из 2 кварков (1/3+2/3) - четные числа, а барионы, состоящие из 3 (1/3 + 1/3 + 1/3) - нечетные? :) ]
• Статьи Белотелова В.А. (г. Заволжье):
  • Алгоритм решения Диофантовых уравнений [ZIP 260К]. Статья была представлена на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Санкт-Петербург, 19 мая 2009 г. В статье затронуты вопросы: 1) Диофантовы уравнения. 2) Великая теорема Ферма. 3) Уранение Пелля. 4) Поиск Пифагоровых троек. 5) Решение уравнения Каталана. 6) Гипотеза Биля.
  • Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел [Zip 180К].
  • О формулах простых чисел [Zip 28К]. Автор приходит к выводу: формул простых чисел не существует.
  • Проблема Гольдбаха. Решение первой и второй проблемы Ландау [Zip 330К]. Проблема Гольдбаха (ПГ) и Вторая проблема Ландау (ПЛ2) – задачи родственные. Но за решение Проблемы Гольдбаха премия обещана, а за решение Второй проблемы Ландау - нет. Для доказательства ПГ и ПЛ2 требуется знание закона распределения простых чисел в ряду натуральных чисел (ЗРПЧ), и знание алгоритма решения Диофантовых уравнений (АРДУ).

Увлекательное в теории чисел

• Академия Тринитаризма. Много статей о "золотом сечении" и числах Фибоначчи.
• Магические квадраты и палиндромы от Георгия Александрова.
• Математический принцип деления целого (теория Троичности). Как и в исследованиях Корнеева, особую роль в теории Андрея Ткаченко отводится сверхсовершенному числу 24, которое, действительно, обладает уникальными математическими свойствами. Это число имеет 7 делителей (1; 2; 3; 4; 6; 8; 12), сумма которых равна 36, что в 1,5 раза больше самого числа 24, восьмым делителем является само число 24. Количество делителей составляют октаву, а сумма восьми делителей 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60. Если учесть, что нумерологический период чисел Фибоначчи равен 24, а числа 12 и 60 являются важнейшими числовыми характеристиками додекаэдра (12 граней и 60 плоских углов на его поверхности), то это поднимает наш интерес к числу 24.

Прикладная (коммерческая) арифметика

• .

© «Сайт Игоря Гаршина», 2002. Пишите письма ().