Главная Пишите

Великие проблемы математики

Хорошая теория – самая практичная вещь на свете.

В  течение тысячелетия математика породила 7 величайших загадок. 25 мая 2000 г. Институт математики Клея объявил о награде в $1 млн за решение каждой из этих главных математических проблем. Их обзорный список (Михаил Витебский, http://vip.lenta.ru/news/2004/09/12/poincare/):

1. Уравнение Навье-Стокса о турбулентных потоках, 1822 [гидроаэродинамика]. Решения этих уравнений неизвестны [эмпирические степенные функции-многочлены?], и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Это позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. [Интегрирование криволинейных тензоров как матрицы роторов и дивергенций?].
2. Гипотеза Римана, 1859 [теория чисел]. Считается, что распределение простых чисел среди натуральных не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Пуанкаре, 1904 [топология или геометрия многомерных пространств]: всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере [т.е. 4-мерного тороида быть не может, а наша Вселенная - трехмерная сфера?].
4. Гипотеза Ходжа, 1941 [алгебра, топология?]. В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов - использование вместо самого объекта простых "кирпичиков", которые склеиваются между собой и образуют его подобие [разве это не есть "кубические интегралы"?]. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.
5. Теория Янга-Миллса [связь геометрии с квантовой физикой], 1954. Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц [!!!], написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий [!!]. Из уравнений Янга-Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков. несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
6. Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера, 1960 [алгебра и теория чисел?]. Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x² + y² = z². [Гипотеза Пьера Ферма - частный случай гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера? А нельзя ли ее также доказать с помощью модальных функций?]
7. Гипотеза Кука, 1971 [математическая логика и кибернетика?]: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки? Эта проблема - также одна из нерешенных задач логики и информатики. Ее решение революционно изменило бы основы криптографии [также как и доказательство гипотезы Римана - ниже].

Разделы страницы:

• Проблемы теории чисел (3)
• Проблемы анализа пространства (геометрия, топология, теория графов - 4)
• Проблемы движения тел и среды (1-2)
• Проблемы логики (1)
• Другие важные задачи математики

Проблемы теории чисел (3)

Эти задачи принадлежат к области высшей арифметики.

Гипотеза Римана и распределение простых чисел

Простые числа (те, которое делится без остатка только на единицу и на само себя) - это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед.

Знаменитая «Гипотеза Римана» была сформулирована немецким математиком Георгом Фридрихом Бернардом Риманом в 1859 году. Согласно ей, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Дело в том, что математикам до сих пор не удавалось обнаружить какой-либо системы в характере распределения простых чисел. Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2): 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. У математиков давно существовало подозрение, что такие скопления существуют и в области очень больших простых чисел, однако ни доказать, ни опровергнуть это утверждение до сих пор не удавалось. Если такие «кластеры» будут найдены, стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время, может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.

Математическое сообщество в полной мере оценило важность задачи — гипотеза Римана была признана одной из 7 важнейших научных проблем тысячелетия. Институт математики Clay в США предложил $1 млн. за ее доказательство либо опровержение. Преамбула с "Арбузного блога".

Научные новости о попытках решения проблем с простыми числами

• Математики справились с задачей, мучившей человечество 2200 лет. [Утро.ру] В последние десятилетия на помощь математикам в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Трое математиков индийского института технологии в городе Канпур, объявили, что разработали метод, позволяющий безошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число.

Статьи математиков-энтузиастов - гипотезы и возможные доказательства решения проблем простых чисел

• Рудыкин А.Ф. Некоторые «доказательства»: Великая теорема Ферма и прочее: Zip-файл [400 К, упакованные в 90 К]. Предлагаемая статья призвана послужить исключению распространенных ошибок при доказательстве Великой теоремы Ферма и других математических задач. Представлено:
  1. 1. Завершение проблемы Великой теоремы Ферма (Бледнов В. А., 2004).
  2. 2. Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n (А. Ф. Горбатов).
  3. 3. Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры (Бобров А.В.).
  4. 4. Великая теорема Ферма – два коротких доказательства (Бобров А.В. - доказательство аналогично предыдущему).
  5. 5. Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков (А.В. Тарасов, 2008).
  6. 6. Алгоритм решения Диофантовых уравнений (X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Санкт-Петербург, 19 мая 2009 г.). В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом: - Великая теорема Ферма; - Уравнение Пелля; - поиск Пифагоровых троек; - Уравнение Каталана; - уравнение Гипотезы Билля; - уравнения эллиптических кривых и др.
  7. 7. Общее доказательство Гипотезы Биля, Великой теоремы Ферма и Теоремы Пифагора (Н.М. Козий, 2007).
  8. 8. Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел (Белотелов В.А., 2008).
• И.А.Немлихер, Е.А.Немлихер, Г.И.Никулин Методика определения делимости чисел натурального числового ряда и ее практическое применение. Можете скачать статью [RTF, упакованный в ZIP 30К] или загрузить сам RTF-файл [320 Кбайт].
• Статьи Белотелова В.А. (г. Заволжье):
  • Алгоритм решения Диофантовых уравнений.. [ZIP 260К] Статья была представлена на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Санкт-Петербург, 19 мая 2009 г. В статье затронуты вопросы:
    1. Диофантовы уравнения.
    2. Великая теорема Ферма.
    3. Уранение Пелля.
    4. Поиск Пифагоровых троек.
    5. Решение уравнения Каталана.
    6. Гипотеза Биля.
  • Признак сходимости Диофантовых уравнений.
  • Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.. [ZIP 180К]
  • О формулах простых чисел.. [ZIP 28К] Автор приходит к выводу: формул простых чисел не существует.
  • Интервалы числовой оси не содержащие простых чисел.
• Г.А. Фомюк, Е.А. Кудина. Закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду. Доказательство гипотезы Римана. Скачать книгу можно со страниц по обзору этой работы ("Гипотеза Римана доказана?"): на русском | на английском, а также Zip [90K] на этом сайте.
  Геннадий и Елена Фомюки нашли простую (арифметическую) формулу для нахождения простых чисел:
  Q = A + 18 * X, где Q - искомое простое число, A – базовое простое число (1, 5, 7, 11, 13 или 17), x – любое натуральное число (1, 2, 3, 4, …).
  [Правда, эта формула в ряде случаев (нашел пока 2) дает и квадраты простых чисел: 7 + 18 * 1 = 25 = 5², 13 + 18 * 2 = 49 = 7².
  Справедливости ради заметим, что это доказательство критикуется другими исследователями.
• Сергей Богомолов. Локализация области поиска сомножителей произведения простых чисел: RTF-файл [21K].

Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

• ?

Великая теорема Ферма

Статьи о Великой Теореме Ферма

• Великая теорема Ферма.
• Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма.

• История решения Великой Теоремы Ферма. [Взято из Интернета]

Статьи математиков (любителей и профессионалов) с попыткой доказать ВТФ

Читайте также статью В.А. Белотелова и статьи в сборнике А.Ф. Рудыкина (помещены выше в разделе о проблеме распределения простых чисел).

• Гипотеза П. Ферма или его Великая теорема? Рудыкин А. Ф. Zip [100K] | Word Doc [630K]. Автором в доступной форме изложено доказательство Великой теоремы Ферма. Доказательство основано на уравнении из книги: Gerhard Frey, Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations, Ann. Univ. Saraviensis, Series Mathematicae 1 (1986), 1-40.
• Статьи А.А. Назарова:
  1. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма и его обобщение - Zip. [8К] | Word Doc [40K]. Арону Рувимовичу Майзелису, школьному учителю, посвящается.
  2. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для школьников старших классов - Zip. [27К] | Word Doc [120K]. Доказательство ВТФ, которое доведено до школьного уровня. Доказательство основывается на геометрическом представлении натурального числа в его аксиоматическом определении. Центральным соотношением x^n-1 + y^n-1 – z^n-1 = (x + y – z)^n-1 дается обоснование справедливости доказательств из предыдущей статьи. Само предлагаемое доказательство, методически, может оказаться полезным для средней школы (6-9 классы) в качестве одного из приемов введения в комбинаторику и теорию групп.
  3. Об элементарном доказательстве ВТФ: Word Doc [80K].
• Великая теорема Ферма Сорокин.: Zip [25K] | Word Doc [100K].

Другие любительские статьи по теории чисел

• Статьи Александра Щербакова о чётных числах:
  • О четных числах в виде разности двух вычетов (двух простых чисел) [PDF, 230К].
  • О четных числах в узлах квадратных решеток [PDF, 210К].

Проблемы анализа пространства (геометрия, топология, теория графов - 4)

Геометрия многомерных пространств и гипотеза Пуанкаре

Перельман Григорий. Родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих [Папа - физик, написавший известный учебник]. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук. Работает в лаборатории математической физики [работал].

Российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре.

• Проблема Пуанкаре. И другие 6 математических проблем.
• Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре.
• Игры разума: доказательство стоимостью в миллион долларов.
• Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков. Прорыв в 2002-2003 годах совершил российский математик Григорий Перельман. Предложив ряд новых идей, он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации Тёрстона. Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.
• Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers.
• Математика Перельмана не поняли.
• Ученый отказался от награды. Над гипотезой о вероятных формах Вселенной бились лучшие умы 20 века. В 2002 году российский математик Григорий Перельман опубликовал ее решение, и до сих пор ни один пристрастный анализ не нашел в нем ошибки. Гениальный математик уже отказался от европейской математической премии и, возможно, откажется от миллионного вознаграждения и медали Филда. [Взгляд]
• Научный мир боится странностей российского гения.
• Россиянин решил знаменитую математическую задачу. Шэрон Бегли.
• Российский ученый отказался от награды в 1 миллион долларов. Г.Перельман, который и ранее отказывался от получения различных международных наград, заявил, что математика его больше не интересует. [РБК]
• Математик Перельман отказался от высшей награды. Ему присудили медаль заочно. Г.Перельман заявил американским журналистам, что принял такое решение в знак протеста против царящих в современном математическом мире нравов. По его мнению большинство математиков – люди честные, но они почему-то мирятся с существованием рядом с собой всяких шарлатанов. [Утро]
• Перельман отказался от высшей математической премии. [Грани]
• Григорий Перельман не отказывался от миллиона. Он не принял медаль Филдса.

Топология и гипотеза Ходжа

• Проблемы 2000 года: гипотеза Ходжа. [Компутерра]

Квантовая физика и геометрия (гипотеза Янга-Миллса)

• Теория Янга-Миллса. [Компутерра]

Теория графов и теорема Шварца-Кристоффеля

• Доказательства великих завихрений. [Известия Науки]

Проблемы движения тел и среды (1-2)

Уравнение Навье-Стокса

Среди семи проблем тысячелетия 6-я проблема является чисто прикладной задачей. От ее решения зависит качество проектирования самолетов, ракет, снарядов, гидротурбин, подводных лодок, газо- и нефтепроводов. В биологии и медицине решение этого уравнения дает всю правду о течении крови в сосудах, жидкости в клетках сосудов и т.д.

Решить уравнения Навье-Стокса не могут с 1822 года. Более того, не могут доказать: правильно ли мы решаем это уравнение, а их приходится решать на компьютерах в силу большой размерности, где три уже много. Поэтому, прежде, чем вычислять, надо доказать теорему существования и единственности решения (СЕР), что составляет суть проблемы и важно потому, что аварии на газопроводах, гидростанциях, авиакатастрофы могут оказаться следствием неправильных расчетов уравнения Навье-Стокса, а не слепой случайности. (Чоро Тукембаев)

• Очередная математическая задача на миллион покорилась за месяц. Американка Пенелопа Смит (Penelope Smith) из Университета Лихай (Lehigh University, Вифлеем, штат Пенсильвания) опубликовала 26.09.2006 сатью "Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier-Stokes System". Она выяснила, что уравнения Навье-Стокса могут быть перезаписаны в форме дифференциальных уравнений, которые она знала, как решать. В статье представлено это решение и она уверена в нём. Смит когда-то также посещала те же самые семинары, что и наш Григорий Перельман. Большой вклад в развитие теории уравнений Навье-Стокса внесла некогда и наша петербургская женщина-математик - Ольга Ладыженская. Главным результатом Ладыженской в этой области стало полное решение проблемы в двумерном случае.

• О решении шестой проблемы тысячелетия. Чоро Тукембаев [Doc, 50K]
• Нестационарная задача Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Т.Д.Омуров [PDF, 320K]

Задача трех тел

• .

Проблемы логики (1)

Гипотеза Кука

Может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?

• ?

Другие важные задачи математики

Проблемы Гильберта

• Проблемы Гильберта.

Новые математические гипотезы

• Thurston's Geometrization Conjecture. Гипотезы геометризации

Новости о "неключевых", но важных математических достижениях

• Высшей награды в области математики удостоена работа 40-летней давности. Высшая награда в области математики - норвежская Премия Абеля – присуждена двум ученым: британцу сэру Майклу Фрэнсису Атьи и Айсадору М. Зингеру из США за работу на стыке двух наук – физики и математики. Норвежская Академия наук и литературы выделила 6 млн крон "за их открытие и доказательство теоремы об индексе с помощью топологии, геометрии и математического анализа, а также за их выдающуюся роль в создании новых связей между математикой и теоретической физикой". 75-летний Атья из университета Эдинбурга и 79-летнйи Зингер из технологического института Массачусетса еще 40 лет назад разработали то, что сейчас называется теоремой Атия-Сингера. [Утро]

© «Сайт Игоря Гаршина», 2002. Пишите письма ().